Desde mediados del siglo XIX, Benjamín Gompertz (matemático inglés de familia holandesa) encontró una ecuación para la evolución de la mortalidad. Esta ecuación se ha utilizado de forma efectiva para modelar la evolución de crecimiento de poblaciones tanto a nivel celular [Frenzen & Murray 1986] [Selva-Castañeda et al. 2019] como de especies animales [Chevallier et al. 2020]. Esta ecuación puede utilizarse de manera muy efectiva para la evolución de pandemias [Bijay & Balvinder 2020] [Martelloni & Martelloni 2020]. La ecuación de Gompertz modela con gran precisión (muy altos índices de correlación) y mediante un pequeño número de parámetros de ajuste, siempre que no cambien las condiciones de propagación de la enfermedad. A pesar de que en el caso de México se han implementado diversas medidas en diferentes fechas, tales como el programa #Quedatenecasa, distanciamiento, cubrebocas, semáforos de salud, no se observan desviaciones de la curva Gompertz
La ecuación de Gompertz para la evolución de la mortalidad (M) está dada en función del tiempo (t) por:
en donde A, B y C son constantes positivas. Aplicada a la evolución de una pandemia, la ecuación puede utilizarse para describir el número de casos confirmados (N) y las constantes dependen de las condiciones de propagación de una pandemia como son razón de infección, que depende de la movilidad de los individuos y el número de contactos de riesgo con otras personas en el tiempo, así como del número inicial de personas contagiadas al momento de la implementación (o no implementación) de las medidas tomadas para combatirla. En particular la constante C representa una medida del tiempo característico la cual depende también de condiciones sociales de las medidas de restricción, del número de personas en cuarentena, así como del número de pruebas realizadas [Bijay & Balvinder 2020]. Cambiando la M de mortalidad por el número de casos confirmados (N), la podemos usar para describir el crecimiento de los casos de México, pero tuvimos que usar la suma de 4 curvas con diferentes fechas de inicio.
Los datos de Covid-19 de los últimos días muestran una reducción notable en el número de personas contagiadas diariamente. La figura 1 señala los datos de la pandemia Covid-19 en México, desde su comienzo en marzo 2020 hasta el 4 de octubre de 2021. La curva total se refiere al total de datos de personas confirmadas con el virus, la Suma G muestra los datos calculados ajustando 4 curvas de Gompertz a los datos, la curva “6 días” muestra los datos diarios de confirmados en promedio móvil –de 6 días– para reducir las fluctuaciones; y la curva Suma G diario muestra la curva de Gompertz restando el dato del día anterior.
Notamos claramente que en los últimos días los datos están por debajo de la predicción de Gompertz, indicando una reducción de los contagios debido a las vacunas que cambian las condiciones de contagios. Podemos esperar que la epidemia baje a 1,100 contagios diarios para el 31 de diciembre de 2021, según Gompertz o antes si siguen disminuyendo los contagios. Excepto si se presenta un nuevo rebrote.
La figura 2 muestra los datos diarios de contagiados y muertes diarias en México para el último pico de contagios, sin usar promedios móviles.
Observamos que el máximo de confirmados diarios precede en dos semanas al máximo de las muertes, lo cual nos da dos semanas como tiempo promedio de muerte. Los datos de domingo y lunes son los menores en cada semana, lo cual es difícil de entender. Los datos corresponden al día en que fueron reportados, e incluyen datos hasta de un mes anteriores al día en que se recolectaron. En las muertes esperamos que todos los días tendríamos las mismas muertes, quizá una reducción en los fines de semana por la tendencia a ver a la familia en los sábados y domingos. Solamente en algunas semanas antes el jueves fue el día mínimo para confirmados y muertes, el jueves 16 de septiembre fue un día excepcional.
La gráfica 1 muestra que las vacunas han logrado bajar los casos diarios respecto a Gompertz, y la gráfica 2 confirma la reducción en contagiados y muertes diarias. Esperemos no haya rebrote y pasemos un feliz año.
Referencias
Bijay Kumar Sahoo y Balvinder Kaur Sapra. “A data driven epidemic model to analyse the lockdown effect and predict the course of COVID-19 progress in India”. Chaos, Solitons and Fractals, 139 (2020) 110034
Gabriele Martelloni y Gianluca Martelloni. “Analysis of the evolution of the Sars-Cov-2 in Italy, the role of the asymptomatics and the success of Logistic model”. Chaos, Solitons and Fractals, (2020), DOI: https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.110150
C. L. Frenzen y J. D. Murray. “A Cell Kinetics Justification for Gompertz’ Equation”. SIAM Journal on Applied Mathematics 46(4), julio 1986 DOI: 10.1137/0146042
Chevallier Damien Baptiste y Mourrain Marc Girondot. “Modelling leatherback biphasic indeterminate growth using a modified Gompertz equation”. Ecological Modelling 426, April 2020 DOI: 10.1016/j.ecolmodel.2020.109037
Antonio Rafael Selva Castañeda, Erick Ramírez Torres, Narciso Antonio Villar Goris, Maraelys Morales González, Juan Bory Reyes, Victoriano Gustavo Sierra González, María Schonbek, Juan Ignacio Montijano y Luis Enrique Bergues Cabrales. “New formulation of the Gompertz equation to describe the kinetics of untreated tumors”. PLoS ONE 14(11): e0224978, noviembre 2019, DOI: 10.1371/journal.pone.0224978
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